Ok, è un articolo di matematica, e per giunta pieno di formule. E a dirla tutta, non è nemmeno un articolo originale, visto che si tratta di una semi-traduzione (leggermente ampliata) del video in inglese che troverete al fondo del pezzo.
Ma il tutto è talmente assurdo, affascinante e divertente, che non sono riuscito ad esimermi dal proporlo ai lettori. Il mondo matematico in cui ci avventuriamo è materia di studio per fisici teorici e matematici, ma per seguire questo pezzo vi basterà appena un po’ di algebra da seconda superiore.
La domanda da cui partiamo è concettualmente piuttosto semplice: quanto fa la somma di tutti i numeri naturali? Ovvero: quanto fa 1+2+3+4+5… e via dicendo fino all’infinito?
Suppongo che la maggior parte dei lettori penserà che il risultato deve essere necessariamente infinito.
La risposta, incredibilmente, è molto diversa: il risultato infatti è la frazione -1/12. Non ci credete vero? In effetti, l’idea che una somma di infiniti numeri interi e positivi dia un risultato finito, negativo e frazionario sembra surreale. Eppure le cose stanno così, e la dimostrazione è piuttosto semplice.
Iniziamo dalla seguente somma, che etichettiamo come S1, chiamata “Serie di Grandi” :
S1= 1-1+1-1+1-1+1-1…
…e avanti così all’infinito. Apparentemente questa somma non ha un risultato univoco: se proviamo a troncare la somma ad un certo punto otteniamo infatti due possibili risultati diversi, ovvero 0 se ci fermiamo in un punto pari, e 1 se ci fermiamo in un punto dispari. L’infinito tuttavia non è né pari né dispari, quindi occorre utilizzare un approccio differente.
Per riuscire a dare un valore a questa somma, proviamo a calcolare 1 – S1.
1 – S1 = 1 – (1-1+1-1+1…)
Togliendo la parentesi e ricordando che meno per meno fa più, ad esempio: -(-1)= +1, otteniamo
1 – S1 = 1-1+1-1+1-1+1…
Ma tutta la pappardella di “meno uno” – “più uno” altro non è che, nuovamente, S1: quindi 1 – S1 = S1
Risolvendo questa semplice equazione otteniamo S1 = ½.
Qui già il risultato può sembrare un po’ strano, visto che da una somma di numeri interi otteniamo una frazione, ma in fondo non è altro che la media dei due valori tra cui oscillava la nostra somma.
Passiamo adesso ad analizzare una seconda somma, che etichettiamo come S2: questa è la somma di tutti i numeri naturali, ma con i segni alternati, ovvero
S2= 1-2+3-4+5-6+7…
Per calcolare il risultato proviamo a raddoppiarla:
2*S2 = S2 + S2 = (1-2+3-4+5-6+7…) + (1-2+3-4+5-6+7…)
Prima di tutto ordiniamo i termini per valori crescenti
S2 + S2 = 1+1-2-2+3+3-4-4+5+5-6-6+7+7…
A questo punto, per facilitare il conto, possiamo utilizzare delle parentesi (ricordiamo che mettere delle parentesi è sempre lecito in una somma coi dovuti accorgimenti sui segni + e -).
S2 + S2 = 1+ (1-2) + (-2+3) + (3-4) + (-4+5) + (5-6) + (-6+7)…
Vediamo subito che la prima parentesi fa -1, la seconda fa +1, la terza fa nuovamente -1, la quarta di nuovo +1, e via così all’infinito. Ma allora questa è proprio la serie di Grandi che abbiamo visto poco fa:
S2 + S2 = 1-1+1-1+1-1+1… = S1
Ma noi sappiamo che S1 = ½, e quindi se il doppio di S2 vale ½, S2 deve necessariamente valere ¼.
2*S2 = ½ –> S2 = ¼
Per i lettori più scafati in matematica, questo risultato può essere ulteriormente dimostrato notando che la serie S2 altro non è che lo sviluppo binomiale di 1/(1+x)2 per x = 1.
Arriviamo ora alla serie che ci interessa, che chiamiamo S, la somma di tutti i numeri naturali.
S= 1+2+3+4+5+6+7+8…
Calcoliamo per prima cosa S – S2, e otteniamo:
S – S2 = (1+2+3+4+5+6+7…) – (1-2+3-4+5-6+7…)
Proprio come abbiamo fatto prima togliamo le parentesi e ordiniamo i termini, ricordandoci che il segno meno di fronte alla seconda parentesi cambia i segni all’interno
S – S2 = 1 – 1 + 2 + 2 + 3 – 3 + 4 + 4 + 5 – 5 + 6 + 6 + 7 – 7…
Anche questa volta aiutiamoci con delle parentesi (per qualcuno il risultato può essere già chiaro a questo punto):
S – S2 = (1 – 1) + (2 + 2) + (3 – 3) + (4 + 4) + (5 – 5) + (6 + 6) + (7 – 7)…
Vediamo immediatamente che tutte le parentesi con dentro i numeri dispari fanno zero e quindi possiamo lasciarle perdere. I numeri pari invece si sommano tra di loro, raddoppiando.
S – S2 = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28…
A questo punto posso raccogliere un 4 a fattore comune:
S – S2 = 4*(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7…)
Ma la somma nella parentesi è nuovamente S, e quindi
S – S2 = 4*S
A questo punto, sapendo che S2 = ¼, risolvere l’equazione è un gioco da ragazzi.
S – ¼ = 4*S –> – ¼ = 3*S –> S = -1/12
CVD.
Ok, se siete arrivati fino qui vincendo la noia, a questo punto dovreste essere stupefatti: non c’è trucco, non c’è inganno, la somma di tutti i numeri naturali (quindi interi e positivi) fino all’infinito è un numero finito, razionale e negativo!
Assurdo e contro-intuitivo, ma i numeri non mentono, e per i matematici puristi esistono dimostrazioni anche molto più rigorose di questo risultato strambo.
Come è possibile? La risposta è che nel momento in cui l’infinito non è più solo un concetto, un limite, ma lo si tratta a tutti gli effetti come un numero, molte regole risultano scombinate. Questo metodo per trattare le sommatorie apparentemente infinite (in linguaggio tecnico, divergenti) viene definito metodo euristico.
Si tratta di dimostrazioni del tutto particolari, in quanto non seguono un procedimento algoritmico, ma piuttosto si basano su un approccio intuitivo, cercando di trovare equazioni che le sommatorie, definite come incognite, soddisfino.
E’ un procedimento lecito? Sì e no. Si tratta di passaggi validi solo in uno specifico “campo di azione”: all’interno dell’aritmetica tradizionale queste somme continuano ad essere infinite e il risultato continua a divergere.
Occorre estendere il concetto di somma ad un livello superiore, nel quale questi risultati sono validi. Nell’insieme dei numeri naturali la radice quadrata di un numero negativo è un’operazione impossibile, ma se si estende il campo d’azione all’insieme dei numeri complessi si può definire un risultato per questa operazione, e questo risultato non solo è valido, ma permette di dimostrare anche teoremi relativi ai soli numeri reali, che prima sembravano impossibili da dimostrare.
Il metodo euristico per il calcolo delle sommatorie divergenti si basa su un’analoga “estensione di campo” del concetto di somma.
La notizia sconvolgente è che questi risultati non sono giochini, non sono seghe mentali di qualche professore di matematica, e nemmeno si tratta di pura teoria: al contrario, questi calcoli vengono utilizzati nelle dimostrazioni di importanti teorie fisiche, quali la teoria delle Stringhe e l’elettrodinamica quantistica.
E queste teorie fisiche (per lo meno la seconda) hanno a supporto diverse conferme sperimentali.
Non è la matematica quindi ad essere assurda, è proprio la realtà: ammesso che esista un Dio, non solo molto probabilmente gioca a dadi con il mondo, ma deve anche essere un ottimo baro.
Luca Romano
@twitTagli
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PS: Un altro semplice e altrettanto strano risultato ottenibile col metodo euristico di calcolo delle somme infinite è la somma delle potenze di 2.
Definiamo la somma P = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25…
Ovvero P = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32…
Raccogliamo un 2 dal secondo termine in avanti e otteniamo P = 1 + 2*(1 + 2 + 4 + 8 + 16…).
Ovvero P = 1 + 2*P, che dà come risultato P = -1.
